Kaç haftadır matematik tarihinden bir kesidi yazıyorum, matematiği formelleştirme çalışmalarını anlatıyorum, aslında lafı tam bugün yazacağım noktaya getirebilmek için alt yapı oluşturuyorum.
Geçen hafta paradokslardan söz ettim. Paradoks veya çelişki için verilen en tipik örnek meşhur Giritli paradoksu: “Bir Giritli filozof demiş ki bütün Giritliler yalancıdır.” Eğer cümle doğruysa yanlış olması lazım, eğer yanlışsa cümle doğru… Gel de çık işin içinden.
Geçen hafta Bertrand Russel’ın bulduğu meşhur paradoksu da yazdım: “Bütün kümeleri içeren bir küme kendi kendisinin üyesi midir?” Eğer üyesiyse o zaman onu da kapsayan bir başka küöme mi var? Peki o küme hangi kümeye dahil? Sonsuza kadar gidiyor…
Fakat bütün bu paradoksları aynı yapan bir şey var. Bunların tamamı konuştuğumuz, içinde düşüncemizi oluşturduğumuz dilin doğasından kaynaklanıyor.
Dünyanın bütün dilleri, kendi kendilerine referans verirler. Dilimizdeki bir kelimenin ne anlama geldiğini yine kendi dilimizde yazılmış bir sözlükte tanımlarız. Bu da, dili eğer mantığa veya matematiğe indirgemeye kalkışırsanız kaçınılmaz bir sonsuz döngü yaratır; dil kendi kuyruğunu ısırıp yemeye çalışan bir yılana benzer, mecburen.
Bunu gören Bertrand Russel, kendi bulduğu paradoksun da aslında geçersiz olduğunu fark edip rahatlamıştı. Paradokslar dille ilgiliydi; mantıkla veya matematikle ilgili değildi.
Sözlük örneğine geri dönelim. Biz bir dildeki kelimelerin ne anlama geldiğini yine o dilde yazılmış bir sözlükle tanımlıyoruz. Bu da kaçınılmaz biçimde bir “sonsuz döngü” yaratıyor.
Peki matematik veya mantık da, kendi kendini ortaya çıkaran kuralları yine kendi dilinde ifade etmiyor mu?
3+2=5 ile 2+3=5’in aynı şey demek olduğunu ortaya koyan kuralı biz yine mantıkla, matematikle yazıyoruz. İşlemlerin terse çevrilebilirliğini, 5+3=8 ile 8-5=3’ü başka bir dil veya sistem kullanarak değil, aynı o matematikle ve mantıkla kurallaştırıyoruz.
Matematiğin “aksiyom” adı verilen temellerini biz yine matematik kullanarak yarattık.
Bu son derece basit gerçeğin farkına varan genç bir Avusturyalı matematikçi ve mantıkçı olan Kurt Gödel, 1930 yılında, henüz üniversiteyi bitirmemişken oturdu, olabilecek en temel, en basit paradoksu matematiğin diline çevirmeye yeltendi.
“Bu cümle yanlıştır” cümlesini yazmaktan ve düşünmekten kolayı yok. Yazdım bile. Cümle eğer yanlışsa doğruyu söylemiş oluyor, doğruysa yanlışı… Gel de çık işin içinden.
Kurt Gödel, işte bu cümleyi matematiğin içinde yazmayı başarırsa, böylece matematiğin de kendi kendine referans verdiğini kanıtlayacağını gördü. Ve şimdi burada anlatması çok teknik kaçacak ve çok uzun sürecek (ayrıca çok da zor olacak) bir dahiyane yöntem geliştirip cümleyi matematik dilinde ifade etti.
Söylediği şey aynı anda hem o kadar karmaşık hem de aslında o kadar basitti ki, ortalık karıştı.
Basitti, çünkü söylediği “Bu cümle yanlıştır” cümlesini matematik diliyle yazmaktan ibaretti. Bunun için özel bir sayı düzeni keşfetmiş, “Gödel Sayıları” adı verilen sistemi kullanmıştı.
Ama o cümleyi yazabilmiş olmasının sonuçları son derece karmaşıktı; insanlık bugün bile o sonuçları keşfetmeye devam ediyor.
İnsanlık, doğayı anlamak ve tarif etmek için bilimi geliştirirken bir de özel dil yaratmıştı. Adına matematik dediğimiz bu dil, hem içinde düşünce üretmemizi sağlayan hem de bilimin çeşitli alanlarında birbiriyle kıyaslama yapmamıza, aynı yöntemle hesap etmemize yarayan müthiş bir araçtı. Açıkçası, doğayı anlamaya ve tarif etmeye çalışıp sırlarını çözerken elimizdeki yegane “sabit” şeydi matematik.
Ama şimdi gencecik bir adam çıkıyor ve matematiğin aslında kendi içinde tutarlı olmayabileceğini, matematiğin içinde cevabını hissetsek bile o hislerimizi kanıtlayamayacağımız şeyler olduğunu ispatlıyordu.
Daha önce örneğini verdim, meşhur Goldbach hipotezi, 2’den büyük bütün çift sayıların iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabileceğini öne sürer.
Bu hipotezin inanılmaz büyüklükte sayılara kadar doğru olduğunu tek tek denemeler yaparak buldu insanlık.
Ama sayılar sonsuza gidiyor ve bütün sayılar için söylenenin doğru olduğunu ispat edecek bir aracımız yok elimizde.
Gödel’in “Karar verilemez önermeler” adını verdiği matematiksel önermelere bir örnek Goldbach hipotezi. (Zaten adı o yüzden “hipotez”, “kanıtlama” değil.)
Peki Gödel’in matematiğin “eksik” ve “karar verilemez” olduğunu kanıtlaması ne anlama geliyor?
Az önce söyledim, insanlık bugün bile bu sonuçları keşfetmeye devam ediyor ama herhalde ortaya çıkan en temel sonuçlardan biri, insan zihninin icat ettiği en mükemmel akıl yürütme biçiminin kendi içinde bazı kusurları olduğunu, yani mükemmel olmadığını görmekti.
Bu peki insan zihninin de sınırları olduğu anlamına mı geliyordu? Yani ortada insan kavrayışının ötesine geçen, insanın hiçbir zaman tam olarak anlayamayacağı şeyler olduğu anlamına mı geliyordu?
Hemen oraya sıçramayın. Gelin bu derin konuyu konuşmaya biraz daha devam edelim.
